"

欧冠竞猜买球官网-欧冠网上买球官网拥有全球最顶尖的原生APP,每天为您提供千场精彩体育赛事,欧冠竞猜买球官网-欧冠网上买球官网更有真人、彩票、电子老虎机、真人电子竞技游戏等多种娱乐方式选择,欧冠竞猜买球官网-欧冠网上买球官网让您尽享娱乐、赛事投注等,且无后顾之忧!

"
首頁 > 科學網-從零說起(從空集說起)――數學迷思之一

科學網-從零說起(從空集說起)――數學迷思之一

互聯網 2021-04-20 15:49:43

最近讀了應行仁老師科普博文中關于數學的文章,頗有感觸,因此有了寫作“數學迷思”系列博文的想法,把自己對數學的一些疑惑和思索公開,希望能得到各位老師的指點。

?

從零說起(從空集說起)――數學迷思之一

?

眾所周知,現代數學正在以前所未有的速度發展和擴張,按美國《數學評論》(Mathematical Reviews)雜志的分類,當今數學包括了約60個二級學科,400多個三級學科,更細的分科已難以統計。人們常常把現代數學比喻成一株茂密的大樹,它包含著并且正在繼續生長出越來越多的分枝,而樹根就是現代數學各分支的共同基礎――集合論。

一、空集

現代數學的基礎是集合論,集合論的起點就是空集。

空集的定義:不含任何元素的集合稱為空集。空集用符號0、φ、?或者{ }表示。根據定義,空集有 0 個元素,或者稱其視為0。在標準的自然數的集合論定義中,0 被定義為空集。

空集Φ有許多獨特的性質:

(1) ? ?空集是一切集合的子集。Φ只有一個子集,沒有真子集。{Φ }有兩個子集,一個是Φ一個是它本身。

(2) ? ?空集是任何非空集合的真子集。

(3) ? ?空集是集合和函數的范疇的唯一初始對象。

(4) ? ?空集既是開集、又是閉集。

需要特別說明的是,數學中的空集與哲學或宗教的“空”(或者“無”)有本質的區別。哲學或宗教的“空”是有絕對意義的、形而上的空無,是指“道可道,非常道,名可名,非常名”、“言語道斷,心行滅處”意義上的空無。集合就是有,空集是不含任何元素的集合,并且可以用符號0、φ、?或者{ }來表示的一個概念。理解空集,可以采用應行仁老師的比喻:將集合想象成一個裝有其元素的袋子的想法或許會有幫助;袋子可能是空的,但袋子本身確實是存在的。

空集概念是數學與哲學、玄學或宗教的分水嶺。

二、皮亞諾算術公理系統

自然數的算術運算是數學的最基本的內容,任何足夠大的數學系統都是包含自然數加法和乘法的數學系統。

皮亞諾公理,也稱皮亞諾公設,是數學家皮亞諾提出的關于自然數的五條公理系統。根據這五條公理可以建立起一階算術系統,也稱皮亞諾算術系統(Peano arithmetic axiom,簡記為PA)。

皮亞諾的這五條公理用非形式化的方法敘述如下:

①0是自然數;

②每一個確定的自然數a,都有一個確定的后繼數a' ,a' 也是自然數(一個數的后繼數就是緊接在這個數后面的數,例如,0的后繼數是1,1的后繼數是2等等);

③0不是任何自然數的后繼數;

④如果b、c的后繼數都是自然數a,那么b=c;

⑤任意關于自然數的命題,如果證明了它對自然數0是對的,又假定它對自然數n為真時,可以證明它對n' 也真,那么,命題對所有自然數都真。(這條公理也叫歸納公理,保證了數學歸納法的正確性。歸納公設可以用來證明0是唯一不是后繼數的自然數,因為令命題為“n=0或n為其它數的后繼數”,那么滿足歸納公設的條件。)

若將只考慮正整數,則公理中的0要換成1。

更正式的定義:

一個戴德金-皮亞諾結構為一滿足下列條件的三元組(X, x, f):

1、X是一集合,x為X中一元素,f是X到自身的映射;

2、x不在f的值域內;

3、f為一單射。

4、若A為X的子集并滿足x屬于A,且若a屬于A, 則f(a)亦屬于A則A=X。

?

根據以上的相關定義,可以做如下的符號推演(這里用{}表示集合操作,用Φ代表空集):

Φ={};

0=Φ={};

1={Φ};

2={Φ,{Φ}};

3={Φ,{ Φ,{ Φ}}};

……

N={Φ,{ Φ,……{Φ}……};(有N對大括號)

……

?

三、悖論

根據前面所述的概念和定義,做如下的推演:

0=Φ

0=0

0=0+0+……+0+……

0=1-1 ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ?②

0=2-2 ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ?③

0=3-3 ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ?④

……

0=N-N ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ⑤

?

令S=0=0+0+……+0+…… ? ? ? ①

把②代入①:

S= 1-1+1-1+……1-1+……

S= 1-( 1-1+1-1+……1-1+……)

S= 1-S

2S=1

S= 1/2

同理,

把③代入①:則S=2/2

把④代入①:則S=3/2

把⑤代入①:則S=N/2

?

結論:S=0= 1/2= 2/2= 3/2=……= N/2=……

這不是無中生有嗎!顯然這是一荒謬的結論,但是原因出在哪呢?(待續)

轉載本文請聯系原作者獲取授權,同時請注明本文來自羅永道科學網博客。

鏈接地址:http://wap.sciencenet.cn/blog-993295-708736.html?mobile=1

收藏

分享

分享到:

免責聲明:非本網注明原創的信息,皆為程序自動獲取互聯網,目的在于傳遞更多信息,并不代表本網贊同其觀點和對其真實性負責;如此頁面有侵犯到您的權益,請給站長發送郵件,并提供相關證明(版權證明、身份證正反面、侵權鏈接),站長將在收到郵件12小時內刪除。
欧冠竞猜买球官网-欧冠网上买球官网 <蜘蛛词>| <蜘蛛词>| <蜘蛛词>| <蜘蛛词>| <蜘蛛词>| <蜘蛛词>| <蜘蛛词>| <蜘蛛词>| <蜘蛛词>| <蜘蛛词>| <蜘蛛词>| <蜘蛛词>| <蜘蛛词>| <蜘蛛词>| <蜘蛛词>| <蜘蛛词>| <蜘蛛词>| <蜘蛛词>| <蜘蛛词>| <蜘蛛词>| <蜘蛛词>| <蜘蛛词>| <蜘蛛词>| <蜘蛛词>| <蜘蛛词>| <蜘蛛词>| <蜘蛛词>| <蜘蛛词>| <蜘蛛词>| <蜘蛛词>| <蜘蛛词>| <蜘蛛词>| <蜘蛛词>| <蜘蛛词>| <蜘蛛词>| <蜘蛛词>| <蜘蛛词>| <蜘蛛词>| <蜘蛛词>| <蜘蛛词>| <蜘蛛词>| <文本链> <文本链> <文本链> <文本链> <文本链> <文本链>